Arbre pondéré

Lorsqu'on réalise une expérience aléatoire mettant en jeu plusieurs événements, on peut représenter la situation par un arbre pondéré.

On indique sur chaque branche les probabilités correspondantes : les probabilités sur les branches du 1 \(^{\text{er}}\) niveau sont des probabilités simples et les probabilités sur les branches du 2 \(^{\text{e}}\) niveau sont des probabilités conditionnelles.

Si \(A\) et \(B\) sont deux événements relatifs à une même expérience aléatoire, on obtient par exemple :

Propriété 1

La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.

Exemple

\(P(A)+P(\overline{A})=1\)  et \(P_A(B)+P_A(\overline{B})=1\) .

Cette propriété est une conséquence immédiate de la propriété suivante : la somme des probabilités d'un événement et de son contraire est égale à 1.

Propriété 2

La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches qui composent ce chemin.

Exemple

Le chemin rouge mène à l'événement \(A \cap B\) donc  \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\) . On retrouve ici la propriété du cours sur les probabilités conditionnelles.

Propriété 3

La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des chemins menant à cet événement.

Exemple

Les deux chemins verts mènent à l'événement \(B\) , on a donc :

\(P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A}\cap B)=P(A) \times P_A(B)+P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)\) .

Exemple

Une urne contient des boules indiscernables au toucher.

20 % des boules portent le n° 1 et les autres le n° 2.

Le quart des boules portant le n° 1 sont rouges et 10 % des boules portant le n° 2 sont rouges.

On tire au hasard une boule de l'urne et on considère les événements suivants :

• \(A\) : « La boule porte le n° 1 » ;
  
• \(B\)  : « La boule est rouge ».

1. Traduisons les données de l'énoncé en termes de probabilités : 

20 % des boules portent le n° 1, ce qui signifie que  \(P(A)=0{,}2\) .

Le quart des boules portant le n°1 sont rouges ce qui signifie que  \(P_A(B)=\dfrac{1}{4}=0{,}25\) .

10 % des boules portant le n°2 sont rouges ce qui signifie que  \(P_{\overline{A}}(B)=0{,}1\) .

On peut alors construire l'arbre pondéré suivant à l'aide de la propriété 1.

2. Calculons la probabilité que la boule porte le n° 1 et soit rouge, c'est-à-dire  \(P(A \cap B)\) .

D'après la propriété 2, on a donc : \(P(A \cap B)=0{,}2 \times 0{,}25 = 0{,}05\) .

La probabilité que la boule porte le n° 1 et soit rouge est égale à 0,05.

3. Calculons la probabilité d'obtenir une boule rouge, c'est-à-dire  \(P(B)\) .

On utilise la propriété 3 sachant que deux chemins mènent à l'événement  \(B\)  :

\(P(B)=0{,}2 \times 0{,}25+0{,}8\times 0{,}1=0{,}05+0{,}08=0{,}13\) .

La probabilité d'obtenir une boule rouge est égale à \(0{,}13\) .